A.

ABC est un triangle.
Soit E le milieu de [AC].
Soit K le symétrique de B par rapport à E.
Que peut on dire de ABCK ? Le démontrer.

K est le symétrique de B par rapport à E, donc E est le milieu de [BK].
E est le milieu de [AC].
Or si un quadrilatère a des diagonales qui se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc ABCK est un parallélogramme.

B. 

ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD]
La parallèle à ( AD ) passant par C coupe (AB) au point E.
Que peut on dire de ADCE ?

ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD], donc (AB) // ( CD ).
De plus (AD) // (CE).
Donc les côtés opposés de ADCE sont parallèles, donc ADCE est un parallélogramme.

C.

ABC est un triangle .
Soit E le symétrique de A par rapport à B.
Soit F le symétrique de C par rapport à B.
Que peut on dire de ACEF ? Pourquoi ?

E est le symétrique de A par rapport à B et
F est le symétrique de C par rapport à B, or si un quadrilatère a un centre de symétrie, alors ce quadrilatère est un parallélogramme, donc ACEF est un parallélogramme.

D.

ABCD est un parallélogramme dont les diagonales se coupent au point O.
La parallèle à (AC) passant par B coupe la parallèle à (BD) passant par A au point E.
Que peut on dire de AOBE ? Le démontrer.

(OB)//(AE) et (OA)//(BE), donc AOBE est un parallélogramme.

E. 

ABC est un triangle.
La parallèle à ( AC ) passant par B coupe la parallèle à ( AB ) passant par C au point E.
Que peut on dire de ABEC ?
[AE] coupe [BC] au point K.
Que représente K pour [AE] ? Pourquoi ?

(BE)//(AC) et (CE)//(AB), donc ABEC est un parallélogramme.
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc K est le milieu de [AE].

F.

ABCD est un rectangle tel que AB = 5cm ; AD = 4 cm.
Soir E le symétrique de D par rapport à C.
Que peut on dire de ABEC ? Pourquoi ?

ABCD est un rectangle, donc AB = DC et (AB)//( DC).
E le symétrique de D par rapport à C, donc C est le milieu de [DE], donc D, C et E sont alignés et DC = CE.
Donc ( AB)//(CE) et AB = CE.

Or si un quadrilatère a deux côtés à la fois parallèles et égaux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc ABEC est un parallélogramme.

G. 

Tracer deux cercles concentriques.
[AB] est un diamètre du premier cercle et [CD] est un diamètre du deuxième.
Que peut on dire de ACBD ? Pourquoi ?

[AB] est un diamètre du cercle donc le centre du cercle est le milieu de [AB].
[CD] est un diamètre du deuxième cercle, donc le centre du cercle est le milieu de [CD].
donc [AB] et [CD] ont le même milieu. Or si un quadrilatère a des diagonales qui se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc ACBD est un parallélogramme.