Sur la figure sont tracées deux bissectrices, leur point d'intersection K et KD, KF et KE sont les distances de K aux droites (AC), (BC) et (AB).

K appartient à la bissectrice de , donc K est à égale distance de [AC) et [AB), donc KE = KD.

K appartient à la bissectrice de , donc K est à égale distance de [CA) et [CB), donc KD = KF.

KE = KD et KD = KF, donc KF = KE.

Tout point situé à égale distance des deux côtés de l'angle appartient à la bissectrice de cet angle, donc K est un point de la bissectrice de . Les trois bissectrices du triangle passent par K. Elles sont concourantes en K.

KE = KD = KF, donc le cercle de centre K qui passe par D passe aussi par E et par F.
, donc (AC) est la tangente au cercle en D.
De façon analogue, (BC) et (AB) sont tangentes à ce cercle.
Ce cercle est donc le cercle inscrit dansle triangle.