A.

Un boulanger confectionne de la pizza sur une grande plaque rectangulaire de 99cm sur 55 cm.
Pour la vente de parts individuelles, il doit découper la pizza en carrés dont les dimensions sont des nombres entiers de cm. Combien de parts peut il découper, sans perte ?

Les parts sont carrées, la longueur de chaque part est donc un diviseur commun à 99 et 55. Les diviseurs communs à 88 et 55 sont 11 et 1. Il fera des parts de 11 cm de côté.
Il fait 9 parts dans la longueur et 5 parts dans la largeur, soit 45 parts en tout.

C.

Albert décide de carreler son couloir de 5,18 m sur 1,85 m avec des carreaux de forme carrée, le côté du carré étant le plus grand possible.
Calculer le côté du carreau carré.

5,18 m = 518 cm
1,85 m = 185 cm
Pour que les carreaux soient les plus grands possibles, le côté du carré doit être le PGCD de ces deux nombres, soit 37.
Les carreaux doivent mesurer 37 cm de côté.

E.

Christophe a un champ rectangulaire qu'il veut clôturer. Les dimensions du champ sont 39 m sur 135 m. Il veut planter des poteaux à distance régulière supérieure à 2 m et mesurée par un nombre entier de mètres. De plus, il place un poteau à chaque coin.
Quelle est la distance entre deux poteaux et combien de poteaux doit-il planter ?
Pour que la distance soit un nombre entier de mètre, il faut choisir un diviseur commun à 39 et 135, supérieur à 2.

Le seul diviseur commun supérieur à 2 est 3.
Il va planter 13 poteaux dans la largeur et 45 poteaux dans la longueur, soit 116 poteaux en tout.

F.

Un collège décide d'organiser une épreuve sportive pour tous les élèves. Les professeurs constituent le plus grand nombre possible d'équipes. Chaque équipe doit comprendre le même nombre de filles et le même nombre de garçons. Sachant qu'il y a 294 garçons et 210 filles, quel est le plus grand nombre d'équipes que l'on peut composer ? Combien y-a-t-il de filles et de garçons dans chaque équipe ?

Le nombre d'équipes est le plus grand diviseur commun à 294 et 210, soit 42.
Il y aura 42 équipes.
294 : 42 = 7
210 : 42 = 5
Il y aura 7 garçons et 5 filles par équipe.

G.

Un centre aéré organise une sortie à la mer pour 315 enfants accompagnés de 42 adultes.
Comment peut-on constituer des groupes comportant le même nombre d'enfants et d'accompagnateurs (donner toutes les solutions possibles) ?

Le plus grand diviseur commun à 315 et 42 est 21.
On peut donc constituer 21 groupes comportant chacun (315:21)15 enfants et (42:21) 2 adultes, ou 7 groupes comportant chacun (315:7) 45 enfants et (42:7 ) 6 adultes, ou 3 groupes comportant chacun (315 : 3) 105 enfants et (42:3 ) 14 adultes.

H.

1. Déterminer le PGCD des nombres 108 et 135.
Le PGCD de 108 et 135 est 27
2. Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de billes de sorte que :
tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges.
tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires.
toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.
Quel nombre maximal de paquets pourra t-il réaliser ?
Combien y aura t-il de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?
Evidemment, le nombre de paquets est le PGCD de 108 et 135, soit 27
108 : 27 = 4
135 : 27 = 5
Il y aura 4 billes rouges et 5 billes noires dans chaque paquet.

I.

1. Calculer le PGCD de 1756 et 1317. ( on détaillera les calculs nécessaires)
Le PGCD de 1756 et 1317 est 439.
2. Un fleuriste a reçu 1756 roses blanches et 1317 roses rouges. Il désire réaliser des bouquets identiques ( c'est à dire comportant le même nombre de roses et la même répartition entre les roses rouges et les roses blanches. ), en utilisant toutes les fleurs.
Quel sera le nombre maximal de bouquets identiques ? Justifier clairement la réponse.

Le nombre de bouquets est un diviseur du nombre de roses blanches et du nombre de roses rouges, puisque le fleuriste utilise toutes les fleurs. Le nombre maximal de bouquets est le plus grand diviseur de ces deux nombres, soit 439.
3. Combien de roses de chaque couleur y aura t-il dans chaque bouquet ?
1756:439 = 4
1317 : 439 =3.
Il y aura 4 roses blanches et 3 roses rouges dans chaque bouquet.

J.

On répartit en paquets un lot de 161 crayons rouges et un lot de 133 crayons noirs de façon que tous les crayons d'un paquet soient de la même couleur et que tous les paquets contiennent le même nombre de crayons.
Combien y a t-il de crayons dans chaque paquet ?
Quel est le nombre de paquets de crayons de chaque couleur ?
( donner le détail des calculs).

Le nombre de crayons est un diviseur commun à 161 et 133, puisqu'on veut le même nombre de crayons dans chaque paquet.
Le seu l diviseur autre que 1 est 7. On fera des paquets de 7 crayons.

161 : 7 = 23
Il y aura 23 paquets de crayons rouges
133: 7 = 19
Il y aura 19 paquets de cryons noirs.

K.

Un commerçant reçoit 180 lampes de poche et 405 piles pour ces lampes. Il souhaite les conditionner en lots identiques composés de lampes et de piles, en utilisant toutes les lampes et toutes les piles.
1. Quel est le nombre maximal de lots qu'il peut conditionner ainsi ?
Il veut utiliser toutes les lampes et toutes les piles, le nombre de lots est donc le plus grand diviseur commun à 180 et 405, c'est à dire 45. Ce commerçant pourra faire 45 lots.
2. Combien de lampes et combien de piles y aura t-il dans chaque lot ?
405:45 = 9
180:45 = 4
Il y aura 9 piles et 4 lampes dans chaque lot.
3. Chaque lampe utilise une pile. Combien y aura t-il de piles de rechange dans chaque lot ?
Ce qui fait 5 piles de recahnge dans chaque lot.