Certaines racines carrées sont des nombres entiers :

Certaines racines carrées sont des nombres décimaux :

Certaines racines carrées sont des nombres rationnels :

Le nombre n'est pas un nombre entier : d'après la calculatrice

n'est pas un nombre décimal
Supposons que soit un nombre décimal dont le dernier chiffre soit 1.

Alors 2 serait un nombre décimal avec deux fois plus de chiffres après la virgule, dont le dernier chiffre serait 1. Ce n'est pas possible, puisque la partie décimale de 2 est nulle.
Supposons que soit un nombre décimal dont le le dernier chiffre soit 2.
Alors 2 serait un nombre décimal avec deux fois plus de chiffres après la virgule, dont le dernier chiffre serait 4. Ce n'est pas possible, puisque la partie décimale de 2 est nulle.
On peut tester toutes les possibilités de la même façon (un décimal qui se termine par 3,4,5...9 ) Rien ne convient.

Donc n'est pas un nombre décimal.

n'est pas un nombre rationnel.

Supposons que soit un nombre rationnel écrit sous la forme la plus simple possible.

et a et b qui ne peuvent pas être pairs tous les deux, sinon on pourrait simplifier par 2.

le carré d'un nombre pair est un nombre pair car :

a est soit pair, soit impair.

Supposons a impair. Alors est impair . Donc ne peut pas être égal à . C'est impossible.

Supposons a pair. Alors

Le carré d'un nombre impair est un nombre impair :

Le carré de b est pair, donc b est pair. mais on a dit dès le début que a et b ne peuvent pas être pairs tous les deux.
Donc a n'est pas pair.

a n'est ni pair ni impair : il n'existe pas.

ne peut pas s'écrire sous la forme du quotient de deux nombres entiers, donc n'est pas un nombre rationnel.

est un nombre irrationnel, (ce qui a beaucoup troublé Pythagore et ses élèves).