Soit ABC un triangle.
Tracer les médianes [CI] et [AJ] de ce triangle. Elles se coupent en G.
Tracer le point D, symétrique de B par rapport à G.

1.      Montrer que (CI) et (DA) sont parallèles.

Dest le symétrique de B par rapport à G donc G est le milieu de [BD].
Dans le triangle ADB:
I est le milieu de [AB] et G est le milieu de [BD], donc (AD)//(GI) d'après le premier théorème des milieux.
donc (CI)//(AD).

2.      Montrer que (AJ) et (CD) sont parallèles.

Dans le triangle CDB:
J est le milieu de [BC] et G est le milieu de [BD], donc (GJ)//(CD) d'après le premier théorème des milieux.
donc (AJ)//(AD).

3.     Montrer que GADC est un parallélogramme.

(CI)//(AD) et (AJ)//(AD) donc GADC est un parallélogramme par définition.

4.     (BG) coupe (AC) au point O.
Montrer que O est le milieu de [AC].

GADC est un parallélogramme, or les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc O est le milieu de [AC].

Que représente (BO) pour ABC ?

O est le milieu de [AC], donc (BO) est la médiane issue de B de ABC.

5.      Conclusion : que peut on dire des médianes des trois côtés du triangle ?

Les trois médianes (AJ), (CI) et (BO) se coupent au point G. Elles sont concourantes.

6.      a ) Monter que BG = 2GO

GADC est un parallélogramme, donc O est le milieu de [GD], donc GO = OD.
G est le milieu de [BD] donc BG = GD.
donc BG = 2GO.

b ) Donc GO = BO